EJERCICIO 6: ...
(i) $\dfrac{n}{\sqrt{n+1}-n }$
Solución: En primer lugar vemos que hay una indeterminación del tipo "$+\infty-\infty$"en el denominador. Así que multiplicamos y dividimos por el conjugado para salvar dicha indeterminación:
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\sqrt{n+1}-n } =
\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{(\sqrt{n+1}-n) }\cdot \dfrac{(\sqrt{n+1}+n)}{(\sqrt{n+1}+n) } = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n(\sqrt{n+1}+n)}{n+1-n^2 } = $
Si bien tenemos una indeterminación del tipo "$+\infty-\infty$" en el denominador, se puede salvar fácilmente (sacando factor común $n^2$) y vemos que tiende a $+\infty$. Como el numerador también tiende a $\infty$ factorizamos numerador y denominador para salvar esta indeterminacion del tipo "$\frac{\infty}{\infty}$":
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n(\sqrt{n+1}+n)}{n+1-n^2 } = \lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\cancel{n^2}\left(\dfrac{\sqrt{n+1}}{n}+ 1 \right)}{\cancel{n^2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) } =$
$\lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{n+1}{n^2}}+ 1 \right)}{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) } =$
$\lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{n+1}{n^2}}+ 1 \right)}{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) } =
\lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\overbrace{\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+ 1 \right)}^{\to 1}}
{\underbrace{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right)}_{\to -1} } = -1$
¿ Por qué la n que divide a la raiz(en el paso dos) pasa a estar dentro de la raíz y elevada al cuadrado (en el pasó tres) ?
ResponderEliminartengo la misma duda
EliminarPorque $n = \sqrt{n^2}$, entonces:
Eliminar$$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{n+1}}{n}+ 1 \right)}{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) }
\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^2}}+ 1 \right)}{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) }= \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{n+1}{n^2}}+ 1 \right)}{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}-1\right) }
$$
me podrías explicar porque en el numerador sacas factor común "n al cuadrado" y luego dividís los términos por n? gracias
ResponderEliminarSaco factor común $n$ que queda multiplicado por la $n$ que ya estaba afuera del paréntesis y por eso queda $n^2$
Eliminarme podrías explicar por favor cómo y por qué la raíz cuadrada de n+1/n^2 pasó a raíz cuadrada de 1/n+1/n^2? muchas gracias tus ejercicios me salvan!!
ResponderEliminardsitribuyo el denominador:
Eliminar$\dfrac{n+1}{n^2}=\dfrac{n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2} =\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}$