Práctica 3 ejercicio 6b

EJERCICIO 6: ...

(b) $\dfrac{n^2-5n+7}{n+3} - \dfrac{n^2+5}{n+1}$

Solución:

Si hacemos lo mismo que en el ejercicio anterior nos encontraremos con una indeterminación del tipo "$+\infty-\infty$".
En este caso debemos hacer la resta de ambas fracciones:

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2-5n+7}{n+3}-\dfrac{n^2+5}{n+1} =
\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n+1)(n^2-5n+7)-(n+3)(n^2+5)}{(n+3)(n+1)} = $

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n^3-5n^2+7n+n^2-5n+7) - (n^3+5n+3n^2+15) }{(n+3)(n+1)} = $


$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\cancel{n^3}-4n^2+2n+7 - \cancel{n^3}-5n-3n^2-15 }{(n+3)(n+1)} = $

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{-7n^2-3n-8 }{n^2+4n+3} = $

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n^2\left(-7-\dfrac{3}{n}-\dfrac{8}{n^2}\right) }{n^2\left(1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right)} = $

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{-7-\dfrac{3}{n}-\dfrac{8}{n^2} }{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{3}{n^2}} = -7$