Práctica 3 ejercicio 5g

EJERCICIO 5: ...

(g) $3,\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{2},\dfrac{8}{5},\dfrac{7}{3},\dfrac{16}{9},\dfrac{9}{4},\dfrac{32}{17},\dfrac{11}{5},\dfrac{64}{33},...$

Solución:
No es fácil darse cuenta como es el término general de esta sucesión. Una pista: mirar como son los términos $a_n$ para $n$ par y ver si hay algún patrón, hacer lo mismo para los valores de $n$ impares.

Para $n$ par vemos que los numeradores son potencias de 2 y los denominadores son "casi" la mitad del numerador. De hecho, los denominadores son la mitad del numerador mas 1.

Podemos escribir para $n$ par los términos de la sucesión de la siguiente forma:

$$a_n = \dfrac{2^{(\frac{n}{2}+1)}}{2^{\frac{n}{2}}+1} \text{ $,\hspace{10pt}n$ par }$$

Para $n$ impar podemos observar que el numerador aumenta de a 2 y el denominador va aumentando en 1. Podemos escribir estos términos de la siguiente forma:

$$a_n = \dfrac{n+2}{(\frac{n+1}{2})}= \dfrac{2n+4}{n+1}\text{ $,\hspace{10pt}n$ impar }$$

Podríamos calcular ahora el límite de cada una de las expresiones dadas:


$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2^{(\frac{n}{2}+1)}}{2^{\frac{n}{2}}+1} = \lim\limits_{n\to \infty}
\dfrac{2^{\frac{n}{2}}\cdot 2}{2^{\frac{n}{2}}\left(1+\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}}\right)} =
\lim\limits_{n\to \infty}
\dfrac{ 2}{1+\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}}} = 2$

Para $n$ impar:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2n+4}{n+1} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n\left(2+\dfrac{4}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} =\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2+\dfrac{4}{n}}{1+\dfrac{1}{n}} = 2$

Si los términos pares tienen el mismo límite que los términos impares, ¿podremos decir que la sucesión tiene límite?
La respuesta es sí, mas aún, el límite de la sucesión es igual al límite de ambas "subsucesiones". En nuestro caso:

$$\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 2$$