Práctica 3 ejercicio 9n

EJERCICIO 9: ...

(n) $ \sqrt[n]{2^n + 5^n }$

Solución: Dado que $\lim\limits_{n\to \infty} 2^n + 5^n = +\infty$ y la raíz $n$-ésima es una potencia que tiende a 0 ($ \sqrt[n]{a } =a^{1/n}$ ) estamos frente a una indeterminación del tipo $\infty^{0}$.

$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{2^n + 5^n } = \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{5^n \left(\dfrac{2^n}{5^n } + 1\right) } =$

$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{5^n}\sqrt[n]{\left(\dfrac{2}{5} \right)^{n}+ 1 } =
\lim\limits_{n\to \infty} 5\cdot \underbrace{\sqrt[n]{\left(\dfrac{2}{5} \right)^{n}+ 1} }_{\to 1}= 5$