Práctica 3 ejercicio 9i

EJERCICIO 9: ...

(i) $ \dfrac{3^n+4^{n+1}+2}{2^{2n}+2^n}$

Solución: Está claro que tenemos una indeterminación del tipo "$\frac{\infty }{\infty}$". Para salvar esta indetermincaión debemos sacar como factor común el término "mas grande" en el numerador y denominador.

Si recordamos que cuando tenemos potencias de potencias podemos escribir una única potencia donde el exponente es el producto de los exponentes (se multiplican los exponentes), entonces cuando nos encontremos con una potencia donde el exponente es un producto la podremos escribir como una potencia de potencia. En nuestro caso:
$$2^{2n}=(2^2)^n = 4^n$$

Otra propiedad que debemos tener presente es: "producto de potencias de igual base se suman los exponentes". Entonces si tenemos una potencia donde el exponente es una suma lo podemos escribir como un producto de potencias de igual base:
$$4^{n+1} = 4^n\cdot 4^1 = 4\cdot 4^n$$

Con estas dos propiedades en mente podemos resolver el límite que nos piden:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3^n+4^{n+1}+2}{2^{2n}+2^n} =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3^n+4\cdot 4^n+2}{4^n+2^n} = $

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{4^n}\left( \dfrac{3^n}{4^n}+4+\dfrac{2}{4^n}\right)}{\cancel{4^n}\left( 1+\dfrac{2^n}{4^n}\right)} =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4+\dfrac{2}{4^n}}{ 1+\left(\dfrac{2}{4}\right)^n} =
$

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\overbrace{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}^{\to 0}+4+\overbrace{\dfrac{2}{4^n}}^{\to 0}}{ 1+\underbrace{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}_{\to 0}} = 4
$