Ejercicios resueltos | Práctica 0 ejercicio 11l

EJERCICIO 11l: Alguna de las siguientes relaciones no valen en general. Analice en qué casos son válidas.

(l) $\text{log}(x+10^2) = 2+\text{log}(x)$


Solución: Esta igualdad NO vale en general porque el logaritmo NO distribuye con la suma:
$$ \text{log}(x+y) \neq \text{log}(x) +\text{log}(y)$$

Para esto basta probar con algún valor de $x$, por ejemplo $x=1$. Del lado izquierdo tendremos:

$\text{log}(x+10^2) = \text{log}(1+10^2)= \text{log}(101)\approx 2.00432137$

y del lado derecho nos queda:

$2+\text{log}(x) = 2+\text{log}(1)= 2+0= 2$

Si bien son dos números muy parecidos no son exactamente iguales. Por lo tanto, la igualdad no es verdadera.

Si quisiéramos ver si vale para algún valor de $x$ todo lo que debemos hacer es despejar como si fuera una ecuación:

$\text{log}(x+10^2) = 2+\text{log}(x)$

$\text{log}(x+10^2)-\text{log}(x) = 2$

$\text{log}(\dfrac{x+10^2}{x}) = 2$

$\dfrac{x+10^2}{x} = 10^2$

$x+10^2 = x10^2$

$10^2 = x10^2 - x$

$10^2 = x(10^2 - 1)$

$ x= \dfrac{10^2}{10^2 - 1}$

Es decir, la igualdad se cumple solo para:

$$ \boxed{x= \dfrac{10^2}{10^2 - 1}}$$